Golden Ratio

math

Golden Ratio 実は良く知らなかったのでちょっと勉強した。
元の定義は a : b = b : a+bとなるような比率。*1
これからb ^2 = a \cdot (a + b) = a ^ 2 + a b　, 両辺 a^2 で割って \frac{b}{a} = \phiとおくと \phi^2 = \phi + 1 --- なるほどねえ。
ここで\phi^nを考えると、これがフィボナッチ数と絡んでくる。例えば \phi^3 = \phi \cdot (\phi + 1) = 2\phi + 1,
同様に
\phi^4 = \phi \cdot (2\phi + 1) = 2(\phi +1)+ \phi= 3\phi + 2, \phi^5 = \phi \cdot (3\phi + 2) = 3(\phi +1)+ 2\phi= 5\phi + 3
と、係数にフィボナッチ数が表れる。
とまあ、こんな話から次のEx.1.13に続く。

[SICP]Ex.1.13 p.42

帰納法なんて何年ぶりだろうか。ちょっと面白いんでやってみよう。
\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \psi = \frac{1-\sqrt{5}}{2}として

Fib(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}　...(1)を出す。

(1)の仮定から
Fib(0) = 0, Fib(1) = 1

n で Fib(n) が成り立っているとすると, Fib(n+1)は
Fib(n+1)= Fib(n) + Fib(n-1) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}} + \frac{\phi^{n-1} - \psi^{n-1}}{\sqrt{5}}\\=\frac{\phi^n+\phi^{n-1}-(\psi^n+\psi^{n-1})}{\sqrt{5}}
おお！黄金比の定義から\phi^{n+1}=\phi^{n}+\phi^{n-1},\psi^{n+1}=\psi^{n}+\psi^{n-1}
従って(1)が成り立つ。

んで \psi^nはnが∞にいくと 0に収束するから、、、と言う訳か。
むう面白かったが数式だらけで迷惑なエントリだ。

*1:調べるまでA5をふたつ並べるとA4にというのと勘違いしてた。その比率は \frac{\sqrt{2}}{2}だよね